Пробный вариант ОГЭ по математике профиль 2025 от 31 Января

Хозяин выбрал дровяную печь. Чертёж передней панели печи показан на рисунке.

Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха.

Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки $R$. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты.
Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Найдите расстояние от Антоновки до Гориново по прямой.
Ответ дайте в километрах.

Паркетная доска размером 20 см на 80 см продаётся в упаковках по 12 штук.
Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в коридоре?

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 245/65 R17?
Результат округлите до десятков.

Найдите значение выражения $(\sqrt{13} - 2)(\sqrt{13} + 2)$.

На координатной прямой отмечено число a.

Какое из утверждений для этого числа является верным?

1) $5 - a > 0$

2) $7 - a < 0$

3) $a - 7 < 0$

4) $a - 8 > 0$

Найдите значение выражения $\frac{a^4 \cdot \bigl(b^{\tfrac{1}{3}}\bigr)^3}{(a\cdot b)^2}$ при a = 3 и b = √3.

Найдите корень уравнения $3x + 3 = 5x$.

В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, три неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

На рисунках изображены графики функций вида $y = ax^2 + bx + c$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

ГРАФИКИ

A)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ
1) $a > 0,\; c > 0$
2) $a < 0,\; c > 0$
3) $a > 0,\; c < 0$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1,8\,t_C + 32$, где t_C — температура в градусах Цельсия, t_F — температура в градусах Фаренгейта.
Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует −90 градусов по шкале Цельсия?

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

1) $x^2 + 64 > 0$
2) $x^2 - 64 \le 0$
3) $x^2 - 64 \ge 0$
4) $x^2 + 64 \le 0$

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,8 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,3 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 6 секунд движения?

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $63^\circ$. Найдите его другой острый угол.
Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 112°, угол CAD равен 70°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 352°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1) Тангенс любого острого угла меньше единицы.
2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3) В параллелограмме есть два равных угла.

В ответ запишите номер истинного высказывания.

Решите систему уравнений

$\begin{cases}3x^2 + y = 4, \\ 2x^2 - y = 1.\end{cases}$

Из A в B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобиля на 6 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 56 км/ч, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилем.

Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 45 км/ч.

Постройте график функции $y = 4\lvert x - 3 \rvert - x^2 + 8x - 15$.

Определите, при каких значениях t прямая $y = t$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно $14$,
а одна из диагоналей ромба равна $56$. Найдите углы ромба.

Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $BC$.
Точка $L$ — середина стороны $AB$. Докажите, что $CL$ — биссектриса угла $BCD$.

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно.
Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 36$, $BC = 18$, $CF:DF = 7:2$.