Математика

Легкая

125

м

мин

Легкая

5

м

мин

ФИПИ

Геометрия

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.


Номер печи Тип Объём помещения (куб. м) Масса (кг) Стоимость (руб.)
1 дровяная 8–12 40 18 000
2 дровяная 10–16 48 19 500
3 электрическая 9–15,5 15 15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

ФИПИ 8889B9

Хозяин выбрал дровяную печь. Чертёж передней панели печи показан на рисунке.



Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха.

Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки RR. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Краткий ответ:

Легкая

5

м

мин

ФИПИ

Алгебра

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревне Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — со скоростью 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 2 км.

ФИПИ C09A0A

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая.

Наименование продукта д. Грушёвка с. Абрамово д. Таловка д. Новая
Молоко (1 л) 32 33 31 34
Хлеб (1 батон) 24 21 26 20
Сыр «Российский» (1 кг) 320 310 330 300
Говядина (1 кг) 390 360 370 420
Картофель (1 кг) 10 18 15 12

Гриша с дедушкой хотят купить 4 л молока, 5 батонов хлеба и 2 кг говядины. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Краткий ответ:

Легкая

5

м

мин

ФИПИ

Полина летом отдыхает у дедушки в деревне Ясная. В четверг они собираются съездить на велосипедах в село Майское в магазин. Из деревни Ясная в село Майское можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Камышёвка до деревни Хомяково, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в село Майское. Есть и третий маршрут: в деревне Камышёвка можно свернуть на прямую тропинку в село Майское, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Полина с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — со скоростью 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 2 км.

ФИПИ F6B6DD

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Ясная в село Майское Полина с дедушкой, если поедут через деревню Хомяково?

Краткий ответ:

Легкая

5

м

мин

ФИПИ

На рисунке изображён план сельской местности.
Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновка (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки.

Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горионово, где можно свернуть на шоссе до Богданово. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломино до Горионова по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горионова до Богданово по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово.

Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.

По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, от Доломино до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютино — 12 км, от Горионова до Ванютино — 15 км, от Ванютино до Жилино — 9 км, а от Жилино до Богданово — 12 км.

ФИПИ B64540

Найдите расстояние от Ванятино до Богданово по шоссе. Ответ дайте в километрах.

Краткий ответ:

Легкая

5

м

мин

ФИПИ

Геометрия

Дима летом отдыхает у дедушки в деревне Васильевка. Во вторник они собираются съездить на велосипедах в село Плодородное на ярмарку. Из деревни Васильевка в село Плодородное можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Шарковка до деревни Рассвет, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Плодородное. Есть и третий маршрут: в деревне Шарковка можно свернуть на прямую тропинку в село Плодородное, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Дима с дедушкой едут со скоростью 25 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — со скоростью 18 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 3 км.

ФИПИ EAE764

Найдите расстояние от деревни Васильевка до села Плодородное по прямой. Ответ дайте в километрах.

Краткий ответ:

Легкая

5

м

мин

ФИПИ

Алгебра

Найдите значение выражения 5,77,65,7 - 7,6.

Краткий ответ:

Легкая

5

м

мин

ФИПИ

Алгебра

Между какими числами заключено число 67\sqrt{67}?

1) 8 и 9
2) 22 и 24
3) 4 и 5
4) 66 и 68

Краткий ответ:

Легкая

5

м

мин

ФИПИ

Алгебра

Найдите значение выражения 19x4y10\sqrt{\frac{1}{9} \cdot x^4 y^{10}} при x = 3 и y = 2.

Краткий ответ:

Легкая

5

м

мин

ФИПИ

Алгебра

Найдите корень уравнения 46x=4x3-4 - 6x = 4x - 3.

Краткий ответ:

Легкая

5

м

мин

ФИПИ

На экзамене 50 билетов, Оскар не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Краткий ответ:

Средняя

5

м

мин

ФИПИ

Алгебра

На рисунках изображены графики функций вида y=ax2+bx+cy = a x^2 + b x + c.
Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

КОЭФФИЦИЕНТЫ
A) a<0,  c>0a < 0,\; c > 0
Б) a>0,  c>0a > 0,\; c > 0
В) a>0,  c<0a > 0,\; c < 0

ГРАФИКИ


1)

2)

3)

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Краткий ответ:

Средняя

5

м

мин

ФИПИ

Алгебра

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с^2) вычисляется по формуле a=ω2Ra = \omega^2 R,
где ω — угловая скорость (в с^-1), R — радиус окружности (в метрах).
Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна ω=8,5s1\omega = 8,5\,\mathrm{s}^{-1}, а центростремительное ускорение равно a=650,25m/s2a = 650,25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
Ответ дайте в метрах.

Краткий ответ:

Средняя

5

м

мин

ФИПИ

Алгебра

Укажите решение системы неравенств

{
x3,70x - 3{,}7 \le 0,
x21x - 2 \ge 1.
}

1)

2)

3)

4)

Краткий ответ:

Средняя

5

м

мин

ФИПИ

Алгебра

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 27 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 6 секунд торможения?

Краткий ответ:

Легкая

5

м

мин

ФИПИ

Геометрия

В треугольнике ABC угол C равен 9090^\circ, BC = 1414, AB = 2020. Найдите cos B.

Краткий ответ:

Средняя

5

м

мин

ФИПИ

Геометрия

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD.

Ответ дайте в градусах.

Краткий ответ:

Легкая

5

м

мин

ФИПИ

Геометрия

Один из углов ромба равен 9393^\circ. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Краткий ответ:

Легкая

5

м

мин

ФИПИ

Геометрия

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.


Краткий ответ:

Средняя

5

м

мин

ФИПИ

Геометрия

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.
2) Смежные углы всегда равны.
3) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

В ответ запишите номер истинного высказывания.

Краткий ответ:

Средняя

5

м

мин

ФИПИ

Алгебра

Решите систему уравнений

{5x2+y=12,9x2y=2.\displaystyle\begin{cases}5x^2 + y = 12,\\9x^2 - y = 2.\end{cases}

Развернутый
ответ:

Средняя

5

м

мин

ФИПИ

Алгебра

Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения.

Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Развернутый
ответ:

Средняя

5

м

мин

ФИПИ

Алгебра

Постройте график функции
y=3x+53x2+5xy = \frac{3x + 5}{3x^2 + 5x}.

Определите, при каких значениях k прямая y=kxy = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Развернутый
ответ:

Средняя

5

м

мин

ФИПИ

Геометрия

Биссектрисы углов AA и BB параллелограмма ABCDABCD пересекаются в точке KK.
Найдите площадь параллелограмма, если BC=6BC = 6, а расстояние от точки KK до стороны ABAB равно 66.

Развернутый
ответ:

Средняя

5

м

мин

ФИПИ

Геометрия

Отрезки AB и CD являются хордами окружности.
Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=36AB = 36, CD=48CD = 48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 2424.

Развернутый
ответ:

Средняя

5

м

мин

ФИПИ

Геометрия

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 13 : 12, считая от точки B.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 20.

Развернутый
ответ:

Рисовать

Палитра