Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 04 Апреля

Для треугольника $SDR$ с гипотенузой $\mathrm{DR\; =\; 25}$ и катетом $\mathrm{SD\; =\; 24}$, угол $S$ равен 90°. Найдите $\mathrm{sinR}$.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{\mathrm{ST}}-\overrightarrow{\mathrm{SQ}}'',\; если\; диагонали\; ромба\; QRST\; равны\; 72\; и\; 30''$.

Объем конуса, вписанного в шар, составляет 7. Радиусы основания конуса и шара совпадают. Найдите объем шара.

На турнире по велоспорту участвуют 115 спортсменов, из которых 37 из Норвегии, 55 из Германии, а остальные — из России. Порядок выступления спортсменов определяется случайным образом. Найдите вероятность, что спортсмен, выступающий первым окажется из России.

Вулканологи заявляют, что вероятность того, что температура лавы при извержении вулкана будет выше чем 1168.2℃, равна 0.94. Какова вероятность того, что температура будет ниже 1168.2℃?

Решите уравнение ${\log }_9(5-x)={\log }_9\left(9\right)$

Найдите итоговое значение выражения $21\cdot {\log }_{\frac{\sqrt[-2]{24}}{}}\left(24\right)$

На рисунке показан график функции y = $\mathrm{m(x)}$. Отметьте точку на оси абсцисс, где значение производной функции наибольшее среди точек -3, 0, 2, 3, 5.

Телевизор может работать в сети с напряжением 130 В только при сопротивлении не менее определенного значения. Сила тока, которая вычисляется по формуле $I=\frac{U}{R}$, не должна превышать 1.6 А. Каково минимальное значение сопротивления, при котором сеть будет работать? Ответ дайте в омах.

Вертолет летел по ветру на 34848 км, затем вернулся обратно, затратив на обратный путь на 11 часов больше. Определите скорость ветра, если скорость вертолета в спокойной атмосфере равна 276 км/ч.

На графике изображен график функции, которая имеет вид $f\left(x\right)=k\cdot x$. Найдите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=6$.

Найдите максимум функции $-3\cdot \cos \left(x\right)+\frac{9}{\pi }\cdot x-7$ на интервале $[\pi -10\cdot \pi ;6\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $(3\cdot \sin (\frac{x}{3})-4\cdot {\sin }^3(\frac{x}{3}\left)\right)-(4\cdot {\sin }^3(\frac{x}{3})-3\cdot \sin (\frac{x}{3}\left)\right)\cdot \cos (2\cdot x)+2\cdot \cos (45°)\cdot {\cos }^2\left(x\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{-\pi }{2};\frac{5\cdot \pi }{4}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{45°}$, $\mathrm{AB}=11$ см, ${\mathrm{CC}}_1=11\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{60°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{8^x-8-4^{x+1}+2^x}{x^2+5\cdot x-36}$\ge 0$.

Заемщик берет в кредит целое число миллионов рублей на 5 лет. Каждый год долг возрастает на 20%. В 1, 2, 3 годах выплачиваются только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Определите наибольшую сумму кредита, чтобы общая выплата была меньше 83 млн рублей.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Покажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1{B}_1{C}_1$.

б) Рассчитайте длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{150°}$, $B_1{C}_1=7$, и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 6 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-81\cdot x^2+25\cdot a^2}=x^2+9\cdot x-5\cdot a$ имеет ровно $3$ решения.

Есть три коробки. В одной из них 118 камней, в другой — 67, а в третьей — 0. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 118 камней, во второй — 31, а в третьей — 36?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 185 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в третьей коробке?