Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 05 Апреля

В прямоугольном треугольнике $UYQ$, где угол $U$ равен 90°, $\mathrm{YQ\; =\; 90}$, а $\mathrm{UY\; =\; 72}$. Найдите $\mathrm{sinQ}$.

Векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ заданы своими координатами. Найдите длину вектора $-1\overrightarrow{a}-1\overrightarrow{b}$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ известно, что $C_1{D}_1=8$, $AD=2$, $A{A}_1=9$. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $D$ и $A_1$.

В кинотеатре 25 мест, из которых 9 мест - удобные места вблизи экрана и в боковых ложах. Найдите вероятность того, что при случайном выборе зрителю в кинотеатре достанутся удобные места.

По результатам трехкратного броска игральной кости в сумме выпало 14 очков. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало 6 очков?

Найдите корень уравнения ${(7-x)}^3=8$. Если корней несколько, в ответе укажите наименьший корень.

Найдите значение выражения $\frac{{\left(6^8\right)}^{-2}}{{\left({216}^3\right)}^{-2}}$

На графике представлена функция y = $\mathrm{n(x)}$. Определите, в какой из точек -4, -3, -2, -1, 1, 3 значение производной функции будет наименьшим.

Бегун на стадионе начал тормозить при скорости 4.8 м/с, и с ускорением 1.6 м/с² пробежал 7 метров за t секунд. Используйте формулу $S=V_0\cdot t-\frac{a\cdot t^2}{2}$ для нахождения пути. Сколько времени он тормозил?

Космический корабль летел по направлению космического потока на расстояние 837930 км, а затем вернулся обратно, затратив на обратный путь на 17 часов больше. Определите скорость корабля, если скорость космического потока равна 8000 км/ч.

На рисунке изображен график функции $f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$. Определите значение функции $f\left(7\right)$.

Найдите минимум функции $-4\cdot \sin \left(x\right)-\frac{10}{\pi }\cdot x-13$ на интервале $[-10\cdot \pi ;2\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $(3\cdot \sin (\frac{x}{3})-4\cdot {\sin }^3(\frac{x}{3}\left)\right)+2\cdot {\cos }^2\left(x\right)\cdot \sin (45°)-(1-2\cdot {\cos }^2(x\left)\right)\cdot \sin \left(x\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{15\cdot \pi }{4};\frac{21\cdot \pi }{4}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{45°}$, $\mathrm{AB}=5$ см, ${\mathrm{CC}}_1=5\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{60°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{39-{39}^x-{13}^x+3^{x+1}}{x^2+7\cdot x}$\le 0$.

Бизнесмен хочет взять в кредит целое число миллионов рублей на 8 лет с ежегодным увеличением долга на 10%. Заемщик предполагает, что в 1, 2, 3, 4, 5, 6 годах он будет выплачивать только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Найдите наименьший возможный кредит, при котором выплаченная сумма не меньше 69 млн рублей.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ABM}=\mathrm{\angle ACB}=30°$.
б) Найдите $\mathrm{MD}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{15}$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$3\cdot a>=x$ $x+a<=29$ $16\cdot x<x^2+a^2$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[7;18]$.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 61?
2) Может ли сумма быть равна 15?
3) Какое самое маленькое значение может принимать дробное S для 2-значных исходных чисел?