Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 31 Января

В треугольнике $INW$, угол $I$ равен 90°, $\mathrm{NW\; =\; 50}$, $\mathrm{IW\; =\; 14}$. Найдите $\mathrm{cosN}$.

Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}(30;-8)$ и $\overrightarrow{b}(5;12)$.

В конус вписан шар с таким же радиусом основания. Известно, что объем шара равен 41. Чему равен объем конуса?

На корабле 26 мест, из которых 13 мест - удобные места на верхней палубе и вблизи бара. Найдите вероятность того, что при случайном выборе пассажиру на корабле достанутся удобные места.

В торговом центре ожидается определенное количество покупателей за день. Вероятность того, что придет больше 23 покупателей, равна 0.68. Вероятность того, что придет больше 18 покупателей, равна 0.61. Найдите вероятность того, что количество покупателей будет от 19 до 23.

Решите уравнение: $2^{-5\cdot \mathrm{x\; +\; 7}}=4$.

Что получится, если решить $\frac{3\cdot \sin (156°)}{\cos (78°)\cdot \sin (78°)}$?

На графике показана функция y = $\mathrm{f(x)}$. Найдите количество точек среди  x₀, x₁, в которых значение производной функции отрицательно.

Грузовик, двигаясь по трассе с начальной скоростью 23.0 м/с, начал снижать скорость с ускорением 1.8 м/с². За t секунд с момента начала снижения скорости он прошел 140 метров. Путь вычисляется по формуле $S=V_0\cdot t-\frac{a\cdot t^2}{2}$. Найдите время торможения.

В городе открылась новая автозаправка с несколькими колонками. Первая колонка заправляет машину с баком объёмом 60 литров на 3 минуты медленнее, чем вторая, так как она пропускает на 18 литров топлива в минуту меньше. За сколько минут первая колонка заправит машину?

График функции $f\left(x\right)=a\cdot x^2+c$ изображен на рисунке. Рассчитайте $f\left(2\right)$.

Найдите точку минимума функции $y=6\cdot x^3-4\cdot x^2-10\cdot x-16$

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $-\cos (\frac{\pi }{2}+2\cdot x)-2\cdot \cos \left(x\right)\cdot \cos (150°)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{-13\cdot \pi }{3};\frac{-8\cdot \pi }{3}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{30°}$, $\mathrm{AB}=13$ см, ${\mathrm{CC}}_1=13\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{45°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{{11}^x-88-8^{x+1}+{88}^x}{x^2+1\cdot x}$\ge 0$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ подобны.

б) Вычислите длину стороны $ABC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=\mathrm{135°}$, $B_1{C}_1=6$ и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 5 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Для каких значений параметра a уравнение $\sqrt{x^4-4\cdot x^2+4\cdot a^2}=x^2+2\cdot x-2\cdot a$ будет иметь ровно $3$ решения?

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 81?
2) Может ли сумма быть равна 1692?
3) Какое самое маленькое значение может принимать целое S для 4-значных исходных чисел?