Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 30 Января

Центральный угол на $\mathrm{54°}$ больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Определите величину вписанного угла. Ответ дайте в градусах.

Векторы $\overrightarrow{a}(9;-10)$ и $\overrightarrow{b}(-8;-17)$ заданы своими компонентами. Определите их скалярное произведение.

В конус вписан шар с таким же радиусом основания. Известно, что объем шара равен 41. Чему равен объем конуса?

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся решит меньше 5 задач, равна 0.78. Вероятность того, что он решит меньше 6 задач, равна 0.98. Найдите вероятность того, что он решит ровно 5 задач.

В библиотеке за день ожидается определенное количество читателей. Вероятность того, что придет больше 27 читателей, равна 0.9. Вероятность того, что придет больше 21 читателя, равна 0.6. Найдите вероятность того, что количество читателей будет от 22 до 27.

Найдите корень уравнения ${(10-x)}^2=9$. Если корней несколько, в ответе укажите наименьший корень.

Найдите значение выражения $\frac{{\left(1\sqrt{9}\right)}^3}{3}$

На графике показана функция y = $\mathrm{n(x)}$. Найдите количество точек среди  x₀, x₁, x₂, x₃, в которых значение производной функции отрицательно.

Тележки из супермаркета массой по 36.6 кг каждая, столкнулись на скорости 2 м/с под углом 2α и выработали энергию 36.6 Дж. Энергия рассчитывается по формуле $Q=m\cdot V^2\cdot {\sin \left(a\right)}^2$. Найдите угол 2α в градусах.

В городе открылась новая автозаправка с несколькими колонками. Первая колонка заправляет машину с баком объёмом 84 литра на 6 минут медленнее, чем вторая, так как она пропускает на 7 литров топлива в минуту меньше. За сколько минут первая колонка заправит машину?

График функции $f\left(x\right)=k\cdot x$ изображен на рисунке. Найдите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=8$.

Найдите минимум функции $-6\cdot \sqrt{3}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{12}{\pi }\cdot x-8$ на интервале $[\frac{\pi }{6}-8\cdot \pi ;\frac{\pi }{2}+8\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $(2\cdot {\sin }^2(x)-1)\cdot (4\cdot {\sin }^3(\frac{x}{3})-3\cdot \sin (\frac{x}{3}\left)\right)+\sin \left(x\right)+\sqrt{2}\cdot {\cos }^2\left(x\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{-11\cdot \pi }{2};-4\cdot \pi ]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите площадь $ABCD$, если $B{B}_1$ = 15, $CD$ = 12.

Решите неравенство $$ \frac{5^x-5-1^{x+1}}{x^2-6\cdot x-40}$\ge 0$.

Бизнесмен хочет взять в кредит целое число миллионов рублей на 5 лет с ежегодным увеличением долга на 20%. Заемщик предполагает, что в 1, 2, 3 годах он будет выплачивать только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Найдите наибольший возможный кредит, при котором выплаченная сумма не превышает 6 млн рублей.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Покажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1{B}_1{C}_1$.

б) Найдите длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{60°}$, $B_1{C}_1=7$, а площадь $A_1{B}_1{C}_1$ в 4 раз меньше площади $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$x+a<=26$ $15\cdot x>x^2+a^2$ $5\cdot a>=x$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[8;19]$.

Есть три коробки. В одной из них 63 камней, в другой — 86, а в третьей — 0. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 33 камней, во второй — 116, а в третьей — 0?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 149 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в третьей коробке?