Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 29 Января

Центральный угол на $\mathrm{74°}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Определите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}(-7;-4)$ и $\overrightarrow{b}(-6;-4)$.

Определите объём многогранника с вершинами $L$, $M$, $N$, $M_1$ правильной треугольной призмы $L$$M$$N$$L_1$$M_1$$N_1$, если площадь основания равна $2$, а боковое ребро равно $27$.

На банкете присутствует 100 гостей, которых рассадили по 5 столам. За первые 4 стола посадили по 15 человек, остальных разместили за последний стол. Найдите вероятность того, что случайно выбранный гость сидел за последним столом.

По результатам двукратного броска игральной кости в сумме выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало 3 очка?

Найдите корень уравнения ${(15-x)}^2=25$. Если корней несколько, в ответе укажите наименьший корень.

Какое значение принимает выражение $\frac{{\left({32}^{10}\right)}^1}{{\left({16}^4\right)}^3}$?

На рисунке изображён график y = $\mathrm{n\text{'}(x)}$ — производной функции $\mathrm{n(x)}$, определённой на интервале (-5; 8). В какой точке отрезка [-4; 7] функция $\mathrm{n(x)}$ принимает наибольшее значение?

Две одинаковые тележки массой по 54.4 кг каждая столкнулись на скорости 9 м/с под углом 2α и выработали энергию 1101.6 Дж. Формула для расчета энергии: $Q=m\cdot V^2\cdot {\sin \left(a\right)}^2$. Определите угол 2α в градусах.

Лодка двигалась по течению реки на расстояние 990 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 часов больше. Определите скорость лодки, если скорость течения равна 1 км/ч.

На графике изображен график функции, которая имеет вид $f\left(x\right)=a^x+b$. Найдите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=4$.

Найдите точку максимума функции $y=6\cdot x^3+4\cdot x^2+10\cdot x-11$

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $\cos (\frac{\pi }{2}-2\cdot x)-2\cdot \sin (45°)\cdot \cos \left(x\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\cdot \pi ;\frac{9\cdot \pi }{2}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{45°}$, $\mathrm{AB}=6$ см, ${\mathrm{CC}}_1=6\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{60°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{{117}^x-117-{13}^{x+1}+9^x}{x^2-25\cdot x}$\le 0$.

Заемщик берет в кредит целое число миллионов рублей на 7 лет. Каждый год долг возрастает на 20%. В 1, 2, 3, 4, 5 годах выплачиваются только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Определите наименьшую сумму кредита, чтобы общая выплата была больше 39 млн рублей.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ABM}=\mathrm{\angle ACB}=30°$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $\mathrm{CM}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{44}$.

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-100\cdot x^2+64\cdot a^2}=x^2+10\cdot x-8\cdot a$ имеет ровно $3$ решения.

Есть три коробки. В одной из них 55 камней, в другой — 52, а в третьей — 0. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 95 камней, во второй — 12, а в третьей — 0?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 107 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в третьей коробке?