Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 28 Января

Дан треугольник $AQK$ с прямым углом $A$ и сторонами $\mathrm{QK\; =\; 50}$ и $\mathrm{AK\; =\; 30}$. Найдите $\mathrm{cosQ}$.

В ромбе PQRS, где длины диагоналей равны $''32\; и\; 24''$, требуется вычислить длину вектора $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}-\overrightarrow{\mathrm{PR}}.$

Шар вписан в конус. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 44. Найдите объем конуса.

На турнире по волейболу участвуют 200 спортсменов, из которых 58 из Китая, 68 из США, а остальные — из Южной Кореи. Порядок выступления спортсменов определяется случайным образом. Найдите вероятность, что спортсмен, выступающий первым окажется из Южной Кореи.

Автомобиль едет по трассе. Вероятность того, что скорость автомобиля окажется больше 100 км/ч, равна 0.99. Вероятность того, что скорость окажется больше 114 км/ч, равна 0.59. Найдите вероятность того, что скорость автомобиля больше 100 км/ч но меньше 114 км/ч.

Решите уравнение ${\log }_7(x-5)={\log }_{49}\left(16\right)$

Что получится, если решить $\frac{{\left(9^6\right)}^5}{{\left({729}^{10}\right)}^1}$?

На графике показана функция y = $\mathrm{f(x)}$ и касательная к ней в точке с абсцессой $\mathrm{<i>x₀</i>}$ .Найдите значение производной функции $\mathrm{f(x)}$ в точке $\mathrm{<i>x₀</i>}$.

Орел, летя в небе с начальной скоростью 17.4 м/с, начал замедляться с ускорением 2.8 м/с². За t секунд с момента замедления он пролетел 54 метра. Путь вычисляется по формуле $S=V_0\cdot t-\frac{a\cdot t^2}{2}$. Определите время торможения.

На ферме два насоса работают с цистернами. Первый насос наполняет цистерну объёмом 450 литров на 1 час медленнее, чем второй, так как он пропускает на 5 литров топлива в час меньше. За сколько часов первый насос наполнит цистерну?

На рисунке изображен график функции $f\left(x\right)={\log }_a\left(x\right)+b$. Определите значение функции $f\left(\mathrm{12}\right)$.

Найдите максимум функции $6\cdot \cos \left(x\right)-\frac{10}{\pi }\cdot x-3$ на интервале $[-10\cdot \pi ;\frac{\pi }{2}+4\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $2\cdot \cos \left(x\right)\cdot \sin \left(x\right)+2\cdot \sin (60°)\cdot \cos (x+\pi )=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{-16\cdot \pi }{3};\frac{-11\cdot \pi }{3}]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите площадь $BMDN$, если $C{C}_1$ = 9, $DA$ = 7.

Решите неравенство $$ \frac{6^x-6-2^{x+1}+3^x}{x^2+3\cdot x+2}$\le 0$.

Заемщик берет в кредит целое число миллионов рублей на 6 лет. Каждый год долг возрастает на 50%. В 1, 2, 3, 4 годах выплачиваются только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Определите наибольшую сумму кредита, чтобы общая выплата была меньше 27 млн рублей.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1{B}_1{C}_1$.

б) Рассчитайте длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{150°}$, $B_1{C}_1=10$, и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 4 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$x+a<=17$ $8\cdot x<x^2+a^2$ $7\cdot a>=x$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[7;13]$.

Есть три коробки. В одной из них 103 камней, в другой — 0, а в третьей — 57. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 73 камней, во второй — 30, а в третьей — 57?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 160 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в второй коробке?