Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 03 Февраля

Центральный угол на $\mathrm{85°}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}(100;-75)$.

Цилиндр с основанием и высотой, равной радиусу, имеет боковую площадь равную $19\cdot \sqrt{72}$. Найдите площадь боковой поверхности вписанного конуса.

На олимпиаде присутствует 500 участников, которые сидят по 6 классам. В первые 5 классов разместили по 40 человек, оставшиеся участники сели в последний класс. Какова вероятность, что случайный участник оказался в последнем классе?

По результатам двукратного броска игральной кости в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало 1 очко?

Определите значение x для уравнения: $\sqrt{13\cdot x+29}=9$.

Какое значение принимает выражение $\frac{{12}^{6.8}\cdot 4^{2.8}}{{48}^{3.8}}$?

На рисунке изображён график y = $\mathrm{k\text{'}(x)}$ — производной функции $\mathrm{k(x)}$, определённой на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-7; 2] функция $\mathrm{k(x)}$ принимает наибольшее значение?

Леопард, двигаясь по саванне с начальной скоростью 33.6 м/с, начал замедляться с ускорением 6.3 м/с². За t секунд после начала замедления он преодолел 84 метра. Путь вычисляется по формуле $S=V_0\cdot t-\frac{a\cdot t^2}{2}$. Найдите время торможения.

На ферме два насоса работают с цистернами. Второй насос опустошает цистерну объёмом 240 литров на 1 час быстрее, чем первый, так как он пропускает на 20 литров топлива в час больше. Какова скорость работы второго насоса?

График функции $f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ изображен на рисунке. Определите значение функции $f\left(3\right)$.

Найдите точку максимума функции $y=2\cdot x^3-8\cdot x^2+8$

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $\cos (2\cdot x)\cdot \sin \left(x\right)+2\cdot \cos (135°)\cdot (1-{\sin }^2(x\left)\right)+(3\cdot \sin (\frac{x}{3})-4\cdot {\sin }^3(\frac{x}{3}\left)\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{15\cdot \pi }{2};9\cdot \pi ]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{45°}$, $\mathrm{AB}=15$ см, ${\mathrm{CC}}_1=15\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{60°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{8^{x+1}+{56}^x+7^{x+1}+56}{x^2+11\cdot x+18}$\ge 0$.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle MBD}=\mathrm{\angle DBC}=30°$.
б) Найдите $\mathrm{MD}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{27}$.

Определите значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-64\cdot x^2+100\cdot a^2}=x^2+8\cdot x-10\cdot a$ обладает ровно $3$ решениями.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 468?
2) Может ли сумма быть равна 296?
3) Какое самое большое значение может принимать дробное S для 2-значных исходных чисел?