Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 06 Декабря

В прямоугольном треугольнике $RTF$, где угол $R$ равен 90°, $\mathrm{TF\; =\; 85}$, а $\mathrm{RF\; =\; 68}$. Найдите $\mathrm{cosT}$.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}(-20;-99)$.

Цилиндр с высотой, равной радиусу основания, и конус имеют общие параметры. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $3\cdot \sqrt{2}$. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

В чемпионате по сноуборду участвуют 46 спортсменок: 20 из Новой Зеландии, 3 из Норвегии, остальные — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсменки, выбирается случайным образом при помощи жребия. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Финляндии.

Океанологи исследовали температуру океана и обнаружили, что вероятность того, что она будет выше чем 16.1℃, равна 0.8. Какова вероятность того, что температура воды в океане будет ниже 16.1℃?

Определите значение x для уравнения: ${''(''\frac{15}{45}'')''}^{5\cdot \mathrm{x\; -\; 2}}=9$.

Вычислите значение для $\frac{{\left({32}^2\right)}^5}{{\left(4^3\right)}^8}$

На рисунке изображён график функции y = $\mathrm{h(x)}$. В какой из точек -4, -3, -1, 0, 3 значение производной функции является максимальным?

Для наблюдения за образцом под микроскопом используется линза с фокусным расстоянием 15 см. Расстояние $d_1$ от образца до линзы можно менять в диапазоне от 4 см до 20 см, а расстояние $d_2$ от линзы до окуляра — от 80 см до 90 см. Изображение образца будет четким, если выполняется условие $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$. На каком наименьшем расстоянии от линзы образец будет давать четкое изображение? Ответ дайте в сантиметрах.

Две помпы спускают шину. Первая помпа спускает шину объёмом 256 литров на 6 минут медленнее, чем вторая, так как она пропускает на 96 литров воздуха в минуту меньше. За сколько минут вторая помпа спустит шину?

Функция имеет вид $f\left(x\right)=a^x+b$, а её график приведен на рисунке. Определите значение функции $f\left(2\right)$.

Найдите минимум функции $3\cdot \cos \left(x\right)+\frac{14}{\pi }\cdot x+5$ на интервале $[-4\cdot \pi ;10\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $2\cdot \sin (-45°)\cdot {\cos }^2\left(x\right)+\sin \left(x\right)+2\cdot (2\cdot {\cos }^2(x)-1)\cdot \cos \left(\frac{x}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{x}{2}\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{-9\cdot \pi }{4};\frac{-5\cdot \pi }{4}]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите площадь $ABCD$, если $C{C}_1$ = 1, $AB$ = 18.

Решите неравенство $$ \frac{{54}^x+6^{x+1}+9^{x+1}+54}{x^2+5\cdot x+4}$\le 0$.

Заемщик берет в кредит целое число миллионов рублей на 7 лет. Каждый год долг возрастает на 20%. В 1, 2, 3, 4, 5 годах выплачиваются только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Определите наименьшую сумму кредита, чтобы общая выплата была больше 39 млн рублей.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ подобны.

б) Вычислите длину стороны $ABC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=\mathrm{120°}$, $B_1{C}_1=9$ и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 5 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$11\cdot x<x^2+a^2$ $x+a<=19$ $9\cdot a<=x$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3;16]$.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 1891?
2) Может ли сумма быть равна 1301?
3) Какое самое маленькое значение может принимать дробное S для 4-значных исходных чисел?