Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 02 Февраля

Дан треугольник $AQK$ с прямым углом $A$ и сторонами $\mathrm{QK\; =\; 50}$ и $\mathrm{AK\; =\; 30}$. Найдите $\mathrm{cosQ}$.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}(75;100)$.

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 76. Найдите объем шара.

На олимпиаде присутствует 500 участников, которых разместили по 6 классам. В первые 5 классов посадили по 65 человек, остальных разместили в последний класс. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник оказался в последнем классе.

По результатам трехкратного броска игральной кости в сумме выпало 12 очков. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало 2 очка?

Определите значение x для уравнения ${\log }_8(6-x)={\log }_8\left(12\right)$

Определите значение выражения $\frac{{\left(3\sqrt{11}\right)}^2}{11}$

На рисунке изображён график функции y = $\mathrm{h(x)}$. В какой из точек -6, -5, -4, -3, 0, 2 значение производной функции является максимальным?

Грузовик на трассе, двигаясь со скоростью 29.0 м/с, начал замедляться с ускорением 2.0 м/с². За t секунд после начала замедления он прошел 208 метров. Используйте формулу $S=V_0\cdot t-\frac{a\cdot t^2}{2}$ для нахождения пути. Сколько времени заняло торможение?

Моторная лодка прошла против течения реки 144 км, а затем вернулась обратно, затратив на обратный путь на 3 часа меньше. Определите скорость лодки, если скорость течения равна 4 км/ч.

На графике изображен график функции, которая имеет вид $f\left(x\right)=k\cdot x+b$. Найдите результат функции $f\left(x\right)$ при $x=3$.

Найдите максимум функции $-8\cdot \sqrt{3}\cdot \sin \left(x\right)-\frac{15}{\pi }\cdot x-13$ на интервале $[\frac{2\cdot \pi }{3}-2\cdot \pi ;\frac{2\cdot \pi }{3}+8\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $\sin \left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)\cdot \sqrt{2}-\sin \left(x\right)\cdot (2\cdot {\sin }^2(x)-1)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi }{4};\frac{3\cdot \pi }{2}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{45°}$, $\mathrm{AB}=7$ см, ${\mathrm{CC}}_1=7\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{60°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{8^{x+1}+{56}^x+7^{x+1}+56}{x^2+11\cdot x+18}$\ge 0$.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ABD}=\mathrm{\angle DBC}=30°$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $\mathrm{CM}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{11}$.

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-16\cdot x^2+81\cdot a^2}=x^2+4\cdot x-9\cdot a$ имеет ровно $3$ решения.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 1379?
2) Может ли сумма быть равна 20?
3) Какое самое маленькое значение может принимать целое S для 3-значных исходных чисел?